Modellansatz

Gudrun unterhält sich in dieser Folge mit Waltraud Kahle. Sie war bis 2018 als außerplanmäßige Professorin in der Fakultät für Mathematik an der Otto von Guericke Universität in Magdeburg beschäftigt und war Mitglied des Instituts für Mathematische Stochastik. Das Thema des Gespräches ist das Forschungsthema von Waltraud: Statistik für zensierte Daten und in Abnutzungsprozessen sowie unvollständige Reparatur.

Das Gespräch beginnt mit der Frage: Wie kann man Aussagen darüber treffen, wie lange technische Objekte oder auch Menschen "leben" . Ungefähre Aussagen hierzu für große Gruppen sind in der Industrie, der Demographie und Versicherungsmathematik und Medizin nötig. Es ist ein statistisches Problem, das sich in der Theorie auf eine (möglichst große) Anzahl von Beobachtungen bezieht aus denen dann Schlussfolgerungen abgeleitet werden, die für ähnliche Prozesse auch zu Vorhersagen dienen können. In der Praxis liegen aber in der Regel nur zensierte Daten vor, denn die Beobachtung muss abgebrochen werden, bevor die vollständige Information vorliegt.

Ein alternativer Zugang ist es nun, nicht nach der Lebensdauer zu fragen sondern die der Lebensdauer zugrunde liegenden Abnutzungsprozesse zu modellieren (z.B. Verschleiß und Ermüdung).
Hier verwendet man stochastische Prozesse, wie zum Beispiel den Wienerprozess. Grundlegende Eigenschaft des Wienerprozesses ist es, dass in jedem Zeitintervall ein normalverteilter Zuwachs erfolgt und alle diese Zuwächse voneinander unabhängig sind.

Ein Ausfall erfolgt, wenn der Abnutzungsprozess ein vorgegebenes Niveau erstmalig erreicht. Man fragt sich folglich: Wie ist die Verteilung dieser "Erstüberschreitungszeit".

Zur Vermeidung von Ausfällen können regelmäßig vorbeugende Instandhaltungsmaßnahmen durchgeführt werden, die das Abnutzungsniveau verringern. Das kann mit festen Intervallen oder nach vorgegebenen Ereignissen stattfinden. Zu DDR-Zeiten gab es z.B. ein Projekt, dass sicherstellen konnte, das notwendige Wartungsarbeiten von Mähdreschern nur im Winter erfolgten, damit sie zur Erntesaison voll einsatzfähig waren.

Das statistische Modell muss Aussagen zu folgenden Fragen treffen können

• Einfluß der Instandhaltung auf die Lebensdauerverteilung,
• Definition von Kostenfunktionen der vorbeugenden Instandhaltung in Abhängigkeit vom Reparaturgrad,
• Kostenoptimale Instandhaltung.

Andere Modellierungsmöglichkeiten bieten Gammaprozesse oder inhomogene Poissonprozesse.

Im Gespräch gehen Gudrun und Waltraud auf Eigenschaften der Normalverteilung ein. Sie besprechen die Exponentialverteilung (diese hat eine konstante Ausfallrate). Das beschreibt elektronische Bauteile mit langer Lebensdauer sehr gut. Außerdem geht es um die Weibull-Verteilung. Diese passt auf Systeme mit sehr vielen Teilen (das Modell nimmt hier sogar unendlich viele Teile), die mit geringer Wahrscheinlichkeit ausfallen und wo das System ausfällt, sobald das erste Glied ausgefallen ist. Diese Verteilung hat die praktische Eigenschaft, dass die in der Medizin verwendeten Modelle der proportionalen Ausfallrate und der proportionalen Lebensdauer übereinstimmen.

Waltraud engaiert sich im eLeMeNTe e.V.. Das ist der Landesverein Sachsen-Anhalt zur Förderung mathematisch, naturwissenschaftlich und technisch interessierter und talentierter Schülerinnen, Schüler und Studierender. Ein Ziel ist es, die Landesolympiaden Mathematik in Sachsen-Anhalt durchzuführen und Schülerinnen und Schüler mit speziellen Arbeitsgemeinschaften auf die Wettbewerbe vorzubereiten. Waltraud findet es spannend, dort oft überraschenden Ideen der Kinder und jungen Leute zu begegnen, die noch nicht in den ausgetretenen Denkpfaden unterwegs sind.

Zur Geschichte der Mathe-Olympiaden finden sich auf Wikipedia folgende Informationen (die Gudrun aus eigenem Erleben bestätigen kann):
"Die erste Mathematik-Olympiade in der DDR fand 1961/62 als „Olympiade Junger Mathematiker“ statt. Seitdem gab es dort ab der 5. Klassenstufe Schul- und Kreisolympiaden, ab der 7. Klassenstufe Bezirksolympiaden und ab der 10. Klassenstufe DDR-Olympiaden, an der aber auch sogenannte Frühstarter aus tieferen Klassenstufen teilnahmen. Der DDR-Ausscheid fand zunächst in der Woche vor Ostern jeden Jahres in der Jugendhochschule „Wilhelm Pieck“ bei Berlin, später im Mai in Erfurt statt. ... Auf allen Ebenen gab es zur Unterstützung begabter Schüler Mathematikzirkel....Nach der Wiedervereinigung Deutschlands entwickelte sich die Mathematikolympiade schnell zu einem bundesweiten Schülerwettbewerb. Seit 1994 ist der Mathematik-Olympiaden e.V. Träger des Wettbewerbs, der in Kooperation mit dem Talentförderzentrum Bildung & Begabung jährlich ausgeschrieben wird. Seit 1996 nehmen alle 16 Bundesländer an der Bundesrunde teil." Die Bundesrunde fand 1993, 1994 und 2001 in Magdeburg stattt.